Một lý thuyết ngây thơ theo nghĩa "lý thuyết tập hợp ngây thơ" là một lý thuyết không chính thức, nghĩa là một lý thuyết sử dụng ngôn ngữ tự nhiên để mô tả các tập hợp và các phép toán trên các tập hợp. Các từ và, hoặc, nếu... thì, không, đối với một số, đối với tất cả được xử lý như trong toán học thông thường. Như một vấn đề của thuận tiện, sử dụng lý thuyết tập hợp ngây thơ và hình thức luận của nó chiếm ưu thế ngay cả trong toán học cao hơn - bao gồm cả trong các thiết lập chính thức hơn của chính lý thuyết tập hợp.

Sự phát triển đầu tiên của lý thuyết tập hợp là một lý thuyết tập hợp ngây thơ. Nó được tạo ra vào cuối thế kỷ 19 bởi Georg Cantor như một phần trong nghiên cứu về tập hợp vô hạn của ông[3] và được phát triển bởi Gottlob Frege trong cuốn Begriffsschrift (ký hiệu khái niệm) của ông.

Lý thuyết tập hợp ngây thơ có thể đề cập đến một số khái niệm rất khác biệt. Nó có thể đề cập đến

• Trình bày không chính thức về lý thuyết tập hợp tiên đề, ví dụ như trong Lý thuyết tập hợp ngây thơ của Paul Halmos.
• Các phiên bản sớm hoặc muộn hơn của lý thuyết của Georg Cantor và các hệ thống không chính thức khác.
• Các lý thuyết rõ ràng là không nhất quán (dù là tiên đề hay không), chẳng hạn như lý thuyết của Gottlob Frege mang lại Nghịch lý Russell và các lý thuyết của Giuseppe Peano và Richard Dedekind.

Nghịch lý

Giả định cho rằng bất kỳ thuộc tính nào cũng có thể được sử dụng để tạo thành một tập hợp, mà không hạn chế, dẫn đến nghịch lý. Một ví dụ phổ biến là Nghịch lý Russell: không có tập hợp nào bao gồm "tất cả các tập hợp không chứa chính chúng". Do đó, các hệ thống nhất quán của lý thuyết tập hợp ngây thơ phải bao gồm một số hạn chế về các nguyên tắc có thể được sử dụng để hình thành các tập hợp.

Lý thuyết tiên đề

Lý thuyết tập hợp tiên đề đã được phát triển để đáp ứng những nỗ lực ban đầu này để hiểu các tập hợp, với mục tiêu xác định chính xác những phép toán nào được phép và khi nào.